分数阶 Hartree 方程爆破与散射的精确阈值

我们考虑 $L^2$ 超临界情形下的分数阶 Hartree 方程，并针对径向数据找到了散射与爆破二分法的精确阈值：若 $M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[u_{0}<M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[Q]$ 且 $M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\|u_{0}\|^2_{\dot H^s}<M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\| Q\|^2_{\dot H^s}$，则解 $u(t)$ 整体适定且散射；若 $M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[u_{0}]<M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[Q]$ 且 $M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\|u_{0}\|^2_{\dot H^s}>M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\| Q\|^2_{\dot H^s}$，则解 $u(t)$ 在有限时间内爆破。该条件是精确的，因为孤立波解 $e^{it}Q(x)$ 是整体的但不散射，它满足上述条件中的等式。这里，$Q$ 是分数阶 Hartree 方程的基态解。