聚焦型四阶非线性薛定谔方程径向解的动力学行为

我们考虑以下一类聚焦型$L^2$-超临界四阶非线性薛定谔方程 $$i\partial_t u - \Delta^2 u + \mu \Delta u = - |u|^\alpha u, \quad (t,x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N,$$ 其中$N\geq 2$，$\mu \geq 0$，且$\frac{8}{N}<\alpha<\alpha^*$，这里当$N\geq 5$时$\alpha^*:=\frac{8}{N-4}$，当$N\leq 4$时$\alpha^*=\infty$。利用局部化Morawetz估计和径向Sobolev嵌入，我们建立了具有径向对称初值方程的基态阈值以下的能量散射。我们还讨论了该方程有限时间爆裂径向解的存在性。特别地，我们给出了径向数据下散射与爆裂的尖锐阈值。我们的散射结果不仅推广了Guo \cite{Guo}证明的结果（其证明了$\mu = 0$时的散射），而且提供了一种完全避免使用集中/紧致与刚性论证的替代简单证明。在$\mu > 0$的情形，我们的爆裂结果推广了Boulenger-Lenzmann \cite{BL}早先证明的结果，其中有限时间爆裂是针对具有负能量的初值数据证明的。