加权$L^{2}$空间中非线性薛定谔方程散射理论的一些结果

我们研究了在$\Sigma=H^{1}(\mathbb{R}^{d})\cap L^{2}(|x|^{2};dx)$中非线性薛定谔方程$i \partial_{t}u+ \Delta u+\lambda|u|^\alpha u=0$的散射理论。我们证明，当$\alpha_{d}<\alpha<\frac{4}{d-2}$，$d\geq3$，$\lambda\in \mathbb{R}$且对初始数据$u_{0}$有某种小量假设时，以及当$\alpha(d)\leq \alpha< \frac{4}{d-2}$（若$d=1,2$，则$\alpha\in [\alpha(d), \infty)$），$\lambda>0$且$u_{0}$满足适当条件时，散射态$u^{\pm}$在$\Sigma$中存在，其中$\alpha_{d}$和$\alpha(d)$分别是多项式$dx^{2}+dx-4$和$dx^{2}+(d-2)x-4$的正根。特别地，当$\lambda>0$时，对于满足质量-能量阈值$M[u_{0}]^{\sigma}E[u_{0}]<\lambda^{-2\tau}M[Q]^{\sigma}E[Q]$和质量-梯度界$\|u_{0}\|_{L^{2}}^{\sigma}\|\nabla u_{0}\|_{L^{2}}<\lambda^{-\tau}\|Q\|_{L^{2}}^{\sigma}\|\nabla Q\|_{L^{2}}$（其中$\frac{4}{d}<\alpha<\frac{4}{d-2}$，若$d=1,2$则$\alpha\in (\frac{4}{d}, \infty)$）的$u_{0}$，以及在临界幂次$\alpha=\alpha(d)$下的振荡数据，我们得到了$u^{\pm}$在$\Sigma$中的存在性，其中$\sigma=\frac{4-(d-2)\alpha}{\alpha d-4}$，$\tau=\frac{2}{\alpha d-4}$，$Q$是基态。我们还研究了$u(t)$在$\Sigma$中收敛到自由解$e^{it\Delta}u^{\pm}$的情况，其中$u^{\pm}$分别是$\pm\infty$处的散射态。