带权源项的亚临界快速扩散方程的灭绝与非灭绝剖面

我们针对如下带权源项的快速扩散方程建立了灭绝与非灭绝的自相似剖面 $$\partial_tu=\Delta u^m+|x|^{\sigma}u^p,$$ 其中 $(x,t)\in\real^N\times(0,\infty)$, $N\geq3$,处于快速扩散方程的亚临界范围 $0<m<m_c=(N-2)/N$。我们考虑 $\sigma>0$ 且 $\max\{p_c(\sigma),1\}<p<p_L(\sigma)$,其中 $$p_c(\sigma)=\frac{m(N+\sigma)}{N-2}, \qquad p_L(\sigma)=1+\frac{\sigma(1-m)}{2}.$$ 我们证明,一方面,任意时刻 $t>0$ 的正自相似解,形如 $$u(x,t)=t^{\alpha}f(|x|t^{\beta}), \qquad f(\xi)\sim C\xi^{-(N-2)/m}, \qquad \alpha>0, \ \beta>0$$ 存在,只要 $0<m<m_s=(N-2)/(N+2)$ 且 $p_s(\sigma)=m(N+2\sigma+2)/(N-2)<p<p_L(\sigma)$。另一方面,我们证明存在 $p_0(\sigma)\in(p_c(\sigma),p_s(\sigma))$ 使得呈现有限时间灭绝的自相似解在 $p\in(p_0(\sigma),p_s(\sigma))$ 以及 $p\in(p_s(\sigma),p_L(\sigma))$ 时均被建立,但剖面 $f(\xi)$ 当 $|x|\to\infty$ 时具有不同空间衰减尾部。我们还证明了在上述范围之外的指数情形或当 $m\geq m_c$ 时自相似解的不存在性。