Hardy-Héron方程的全局自相似解：线性与准线性扩散情形

对抛物型Hardy-Héron方程 $$u_t=\Delta u^m+|x|^{\sigma}u^p, \quad (x,t)\in\mathbb{R}^N\times(0,\infty),$$ 在指数范围m≥1、p>m且σ>max{-2,-N}下的全局自相似解进行了分类。分类随著著名的“Fujita临界指数”和“Sobolev临界指数”而显著变化：$$p_F(\sigma)=m+\frac{\sigma+2}{N}, \quad p_S(\sigma)= \begin{cases} \frac{m(N+2\sigma+2)}{N-2}, & \mbox{if } N\geq3, \[1mm] \infty, & \mbox{if } N\in\{1,2\}. \end{cases}$$ 确实，如果p∈(p_F(σ),p_S(σ))，则两式均可获得具有紧支撑（若m>1）或高斯型尾部（若m=1）的自相似解，以及满足 $$u(x,t)\sim C|x|^{-(\sigma+2)/(p-m)}, \quad {\rm as} \ |x|\to\infty.$$ 若p≥p_S(σ)，则仅存在后者的代数尾部解；而对于m<p≤p_F(σ)，则不存在全局解。这些结果为更深入地研究这些解在Hardy-Héron方程动力学中的作用指明了道路。