高阶 Hardy-Hénon 方程存在与不存在结果的重访

本文致力于研究 $\mathbf R^n$ 中高阶 Hardy-Hénon 方程 $$(-\Delta)^m u = |x|^\sigma u^p$$ （$p > 1$）的非负、非平凡（经典、穿孔或分布）解。我们证明条件 $$n - 2m - \frac{2m+\sigma}{p-1} >0$$ 是分布解存在的必要条件。对于 $n \geq 2m$ 且 $\sigma > -2m$，我们证明任意分布解满足积分方程与弱超多调和性质。我们建立了穿孔解或经典解为分布解的一些充分条件。作为应用，我们证明若 $n \geq 2m$ 且 $\sigma > -2m$，当 $$1 < p < \frac{n+2m+2\sigma}{n-2m}$$ 时方程无非负、非平凡经典解。最后，我们证明对于 $n > 2m$、$\sigma > -2m$ 且 $$p \geq \frac{n+2m+2\sigma}{n-2m},$$ 方程存在正、径向对称经典解。