$\mathbb{R}^N$中具有次线性吸收项的Hardy-Hénon方程

考虑$m>1$，$N\ge 1$且$\max\{-2,-N\}<\sigma<0$。具有次线性吸收项的Hardy-Hénon方程\begin{equation*} - \Delta v(x) - |x|^\sigma v(x) + \frac{1}{m-1} v^{1/m}(x)= 0, \qquad x\in\mathbb{R}^N, \end{equation*}被证明至少存在一个解$v\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap L^{(m+1)/m}(\mathbb{R}^N)$，该解非负、径向对称且具有非增轮廓。此外，任何这样的解都具有紧支集、有界，并且具有更好的正则性$v\in W^{2,q}(\mathbb{R}^N)$，其中$q\in [1,N/|\sigma|)$。证明中的一个关键要素是著名的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式的一个特例，我们为其获得了极值函数的存在性，该函数非负、有界、具有紧支集、径向对称且具有非增轮廓。这些结果的一个副产品是，对于具有奇异系数的空间相关源的多孔介质方程，存在紧支集的分离变量解。