完整黎曼流形上 Einstein-标量场 Lichnerowicz 方程的有限能量解

我们考虑形如\n\n$$-\Delta u + V(x)u = \mathcal{B}(x)|u|^{2^*-2}u + \frac{\mathcal{A}(x)}{|u|^{2^*}u}, \qquad u\in H^1(M),$$\n\n的奇异椭圆问题，其中系数允许具有较低的正则性。在 $-\Delta+V$ 上的自然谱假设、确保流形 $M$ 上 Sobolev 嵌入 $H^1(M)\hookrightarrow L^{2^*}(M)$ 的几何假设，以及涉及 $\mathcal{A}$、$\mathcal{B}$ 以及函数 $\psi \in H^1(M)$ 的适当全局可积/小值条件下，我们证明了存在一个非负的有限能量 supersolution。如果此外黎曼曲率非负且 $\mathcal{B}\ge 0$，我们得到一个正的有限能量解。该证明依赖于一族 $\varepsilon$ 正则化问题、山谷通过论证以及在非紧流形上处理奇异项时 Harnack 不等式在限制程序中的关键作用。我们还证明了一个不存在的结果，表明 $\mathcal{A}$ 的全局可积条件在精确意义上是获取非负 supersolution 的必要条件。