双曲空间中一类具有临界扰动项的椭圆方程

我们研究双曲空间中如下一类非线性椭圆问题正解的存在性与不存在性：$$-\Delta_{\mathbb{B}^N} u-\lambda u=a(x)u^{p-1} \, + \, \varepsilon u^{2^*-1} \,\;\;\text{in}\;\mathbb{B}^{N}, \quad u \in H^{1}{(\mathbb{B}^{N})},$$ 其中 $\mathbb{B}^N$ 表示双曲空间，$2<p<2^*:=\frac{2N}{N-2}$（若 $N \geqslant 3$）；$2<p<+\infty$（若 $N = 2$），$\lambda < \frac{(N-1)^2}{4}$，且 $0< a\in L^\infty(\mathbb{B}^N)$。我们首先证明当 $a(x) \equiv 1$ 时存在正径向对称基态解。接下来，我们证明当 $a(x) \geq 1$ 时，对充分小的 $\varepsilon$ 存在基态解。证明中我们采用“保角度量变换”，将原方程转化为 $\mathbb R^N$ 中球内的奇异方程。然后通过爆破论证仔细分析能量水平，证明基态解的存在性。最后考虑 $a(x) \leq 1$ 的情形，我们先证明不存在基态解，并证明对充分小的 $\varepsilon$ 存在束缚态解（高能量解）。我们采用 Bahri-Li 思想下的变分论证来证明双曲空间中高能量束缚态解的存在性。