$\mathbb{R}^N$ 中一类 $1-$拉普拉斯问题基态解的存在性与轮廓

本工作中，我们证明如下一类问题基态解的存在性 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle - \Delta_1 u + (1 + \lambda V(x))\frac{u}{|u|} & = f(u), \quad x \in \mathbb{R}^N, \\ u \in BV(\mathbb{R}^N), & \end{array} \right. \label{Pintro} \end{equation*} 其中 $\lambda > 0$，$\Delta_1$ 表示 $1-$拉普拉斯算子，其形式定义为 $\Delta_1 u = \mbox{div}(\nabla u/|\nabla u|)$，$V:\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ 为满足某些条件的势函数，$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 为亚临界且超线性非线性项。我们证明对足够大的 $\lambda > 0$ 存在基态解，且当 $\lambda \to +\infty$ 时，此类解收敛于极限问题在 $\Omega = \mbox{int}( V^{-1}(\{0\}))$ 中的基态解。