格图上非线性 p-Laplacian 方程基态解的存在性

本文研究格图 $\mathbb{Z}^{N}$ 上带正周期势 $V$ 的非线性 $p$-Laplacian 方程 $$-\Delta_{p} u+V(x)|u|^{p-2}u=f(x,u)$$，其中 $\Delta_{p}$ 为离散 $p$-Laplacian，$p \in (1,\infty)$。非线性项 $f$ 在 $x$ 上亦为周期，并满足增长条件 $|f(x,u)| \leq a(1+|u|^{q-1})$（对某 $q>p$）。我们首先证明 $\mathbb{Z}^{N}$ 上三个函数空间的等价性，这与连续情形截然不同，并使我们能去除 [SW10] 中 $q>p^{*}$ 的限制，其中 $p^{*}$ 为 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ 有界时 $W^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^{q}(\Omega)$ 的临界指数。随后，利用 Nehari 方法 [Neh60, Neh61]，我们证明上述方程基态解的存在性。