带对数项的临界 Hardy-Hénon 方程的正解

我们考虑以下带对数项的临界 Hardy-Hénon 方程的正解的存在性、不存在性和数目性：\begin{equation*}\label{eq11}\left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u =|x|^{\alpha}|u|^{2^*_{\alpha}-2}\cdot u+\mu u\log u^2+\lambda u, &x\in \Omega,\\ u=0, &x\in \partial \Omega,\\ \end{array} \right.\end{equation*}其中 $\Omega=B$ 当 $\alpha\geq 0$，$\Omega=B\setminus\{0\}$ 当 $\alpha\in(-2,0)$，$B\subset\mathbb{R}^N$ 为单位球，$\lambda, \mu \in \mathbb{R}$，$N\geq 3, \alpha>-2$，$2^*_{\alpha}:=\frac{2(N+\alpha)}{N-2}$ 为嵌入 $H_{0,r}^{1}( \Omega)\hookrightarrow L^p( \Omega;|x|^\alpha)$ 的临界指数，这可视为 Brézis-Nirenberg 问题。当 $N \geq 4$ 且 $\mu>0$ 时，我们将证明上述问题具有正 Mountain pass 解，也是 ground state 解。同时，当 $\mu<0$ 时，在关于 $N$、$\mu$、$\lambda$ 和 $\alpha$ 的某些假设下，我们将证明上述问题分别至少有一个正 least energy 解和一个正 Mountain pass 解。此外，当与 $N \geq 3$、$\mu<0$ 和 $\alpha\in(-2,0]$ 相关的某些不等式成立时，我们将展示上述问题不存在正解。对数项的存在为该问题带来了一些新的有趣现象。