带加权反应的次临界快速扩散方程的指数型异常自相似解

我们证明了对如下带加权反应项的次临界快速扩散方程$$\partial_tu=\Delta u^m+|x|^{\sigma}u^p,$$在 $\real^N$（$N\geq3$）上，指数自相似形式的所谓\emph{异常永恒解}分支的存在性与唯一性，其中$$0<m<m_c=\frac{N-2}{N}, \qquad p>1,$$且权重的临界值为$$\sigma=\frac{2(p-1)}{1-m}.$$该指数自相似解分支的行为类似于已确立的纯快速扩散方程的异常解，但没有有限时间熄灭或有限时间爆破，而是在 $m=m_s=(N-2)/(N+2)$ 处呈现出\emph{两个自相似指数的变号}，导致了令人惊讶的定性差异。从这个意义上说，我们所考虑的反应项在快速扩散与反应效应的竞争中实现了\emph{完美平衡}。