快速扩散方程奇异解的渐近大时间行为

设 $n\ge 3$，$0<m<\frac{n-2}{n}$，$\alpha=\frac{2\beta-1}{1-m}$ 且 $\frac{2}{1-m}<\frac{\alpha}{\beta}<\frac{n-2}{m}$。我们利用不动点方法给出了快速扩散方程 $u_t=\Delta (u^m/m)$ 在 $(\mathbb{R}^n\setminus\{0\})\times (0,\infty)$ 上形如 $V(x,t)=t^{-\alpha} f(t^{-\beta}x)$ 的奇异径向对称前向自相似解的存在性的新直接证明，其中 $f$ 满足\n\begin{equation*}\n\Delta (f^m/m) + \alpha f + \beta x \cdot \nabla f =0 \quad \text{in} \; \mathbb{R}^n\setminus\{0\}\n\end{equation*}\n且 $\lim_{|x| \to 0} |x|^{ \frac{\alpha}{\beta}}f(x)=A$，$\lim_{|x| \to \infty}f(x) = D_A$，其中 $A>0$，$D_A > 0$ 为常数。我们还得到了此类奇异径向对称解 $f$ 在原点附近的渐近展开。我们还将证明快速扩散方程 $u_t= \Delta (u^m/m)$ 在 $(\mathbb{R}^n\setminus\{0\})\times (0,\infty)$ 上满足条件 $A_1|x|^{-\gamma}\leq u_0(x)\leq A_2|x|^{-\gamma}$（其中 $A_2>A_1>0$，$n\le\gamma<\frac{n-2}{m}$）的奇异解的大时间渐近行为。