与非线性分数阶导数福克-普朗克类方程相关的反常扩散：精确含时解

我们考虑具有分数阶导数的 $d=1$ 非线性福克-普朗克类方程 $\frac{\partial}{\partial t}P(x,t)=D \frac{\partial^{\gamma}}{\partial x^{\gamma}}[P(x,t)]^{\nu}$。对于 $\nu = \frac{2-\gamma}{1+\gamma}$（$-\infty<\gamma \leq 2$），找到了精确的含时解。通过考察这些解的长距离渐近行为，建立了与由指数 $q$ 表征的非广延熵最优化解之间的联系，即 $q=\frac{\gamma+3}{\gamma+1}$（$0<\gamma \le 2$）。有趣的是，这一关系与已知的莱维型超扩散（即 $\nu=1$ 且 $0<\gamma \le 2$）的结果一致。最后，对于 $(\gamma,\nu)=(2, 0)$，我们得到 $q=5/3$，这与文献中 $\gamma=2$ 解对应的 $q=2$ 值（$\nu<1$ 多孔介质方程）不同，从而表现出非一致收敛。