流形上自然算子的非齐次 Dirichlet 问题

我们将讨论以下方程的非齐次 Dirichlet 问题：$f(x,u, Du, D^2u) = \psi(x)$，其中 $f$ 是流形 $X$ 上具有受限定义域 $F$ 的“自然”微分算子。所谓“自然”，是指算子内禀地由 $X$ 上的给定几何产生。重要的一点是，该方程不必是凸的，且可能是高度退化的。此外，非齐次项可以在算子 $f$ 的受限定义域 $F$ 的边界处取值。一个简单的例子是黎曼流形 $X$ 上的实 Monge-Ampère 算子 ${\rm det}({\rm Hess}\,u) = \psi(x)$，其中 ${\rm Hess}$ 是黎曼 Hessian，受限定义域为 $F = \{{\rm Hess} \geq 0\}$，且 $\psi$ 连续并满足 $\psi\geq0$。一个主要的新工具是局部 jet 等价的概念，它导出局部弱比较原理，进而在自然且必要的全局假设下导出比较原理。主定理适用于局部 jet 等价于给定常系数对 $({\bf F}, {\bf f})$ 的对 $(F,f)$。这涵盖了流形上的一大族几何方程：黎曼流形上的正交不变算子、具有 G-structure 流形上的 G-不变算子、殆复流形上的算子，以及辛流形上的算子（如 Lagrangian Monge-Ampère 算子）。它也适用于这些算子的所有分支。建立了完整的存在性与唯一性结果，其中存在性所需的边界假设与齐次情况 [10] 相同。我们同样获得了非齐次项 $\psi$ 为 delta 函数时的结果。