拉格朗日势论与一类 Monge-Ampère 型拉格朗日方程

本文旨在建立一种类似于经典多次调和势论的拉格朗日势论，并定义和研究一类 Monge-Ampère 型的拉格朗日微分算子。这一发展即使在 ${\bf C}^n$ 中也是新的。然而，它适用相当广泛——或许最重要的应用是装备了 Gromov 度量的辛流形。Lagrange Monge-Ampère 算子是 ${\rm Sym}^2(TX)$ 上的一个显式多项式，其主支定义了 Lag-调和函数空间。有趣的是，该算子仅依赖于 Laplacian 与 Hessian 的斜 Hermite 部分。该算子的 Dirichlet 问题在齐次与非齐次情形下均得到解决。齐次情形对其他每一支也得到解决。本文还引入并系统研究了拉格朗日多次亚调和与调和函数以及拉格朗日凸性的概念。证明了 Levi 问题的一个类比。在 ${\bf C}^n$ 中有另一概念，Lag-多次调和函数，它以若干方式关联到任意区域上的调和函数。本文始终强调这一拉格朗日势论与标准（复）多次调和势论之间的平行性。