拟多重次调和函数的加权 Monge-Ampère 能量

我们研究紧 Kähler 流形 $(X,\omega)$ 上的退化复 Monge-Ampère 方程。我们证明复 Monge-Ampère 算子 $(\omega + dd^c \cdot)^n$ 在具有有限加权 Monge-Ampère 能量的 $\omega$-多重次调和函数类 ${\mathcal E}(X,\omega)$ 上是良定义的。类 ${\mathcal E}(X,\omega)$ 是 Monge-Ampère 算子良定义且比较原理成立的 $\omega$-psh 函数的最大类。它包含若干梯度不可平方积的函数。我们给出 Monge-Ampère 算子 $(\omega +dd^c \cdot)^n$ 在 ${\mathcal E}(X,\omega)$ 上及其某些子类上值域的完整描述。我们还研究唯一性性质，将 Calabi 的结果推广到这一无界且退化的情形，并给出在复动力系统及奇异 Kähler-Einstein 度量存在性方面的应用。