关于八元数 Monge-Ampère 方程及与双变量八元数次调和函数相关的多重位势理论

本文将多重位势理论的若干方面推广至双变量八元数次调和（OPSH）函数。我们证明了连续 OPSH 函数的比较原理以及局部有界 OPSH 函数的拟连续性。一个重要工具是混合八元数 Monge-Ampère 算子的分部积分公式。本文还建立了八元数相对极值函数与八元数容量的各种有用性质。主要困难在于八元数的非结合性。然而，某种弱形式的结合律可用于克服这一困难。多重位势理论的另一重要组成部分是单位球上齐次八元数 Monge-Ampère 方程 Dirichlet 问题的解，对此我们应用 Bedford-Taylor 方法证明了其 $C_{loc}^{1,1}$ 正则性。这样做的障碍在于，OPSH 函数在单位球的自同构下通常不再是 OPSH 的。该问题可通过寻找 OPSH 函数的加权变换公式来解决。