具有Matukuma型源的$k$-Hessian方程有界解的多重性

本文旨在研究Matukuma所考察的非线性项对应的Laplace方程的$k$-Hessian类比。具体而言，我们的模型为问题\begin{equation*} (1)\;\;\;\begin{cases} S_k(D^2u)= \lambda \frac{|x|^{\mu-2}}{(1+|x|^2)^{\frac{\mu}{2}}} (1-u)^q &\mbox{in }\;\; B,\\ u <0 & \mbox{in }\;\; B,\\ u=0 &\mbox{on }\partial B, \end{cases} \end{equation*}其中$B$表示$\mathbb{R}^n,n>2k$（$k\in\mathbb{N}$）中的单位球，$\lambda>0$为附加参数，$q>k$且$\mu\geq 2$。在此设定下，借助两位作者近期引入的、将问题(1)化为非自治二维广义Lotka-Volterra系统的变换，我们结合动力系统工具、正则解与奇异解之间的交点数以及上下解方法，证明了上述问题解的存在性与多重性。