Lane-Emden型拟线性方程与Hessian方程

本文解决了Lane-Emden型拟线性方程与Hessian方程的存在性问题，并获得了解的全局逐点估计，包括以下两个模型问题：在 $R^n$ 或一个有界区域 $\Omega$ 上，$-\Delta_p u = u^q + \mu$ 与 $F_k[-u] = u^q + \mu$，$u > 0$。这里 $\Delta_p$ 是 p-Laplacian，$F_k[u]$ 是 $k$-Hessian，定义为 Hessian 矩阵 $D^2 u$ 的 $k\times k$ 主子式之和；$\mu$ 是 $\Omega$ 上的非负可测函数（或测度）。即使对于好数据 $\mu \in L^s (\Omega)$，$s>1$，这类方程在重整化（熵）或粘性意义下的可解性一直是个开放问题。此类结果由我们的存在性判据推出，其锐指数为：第一个方程 $s = n(q-p+1)/pq$，第二个方程 $s = n(q-k)/2kq$。此外，给出了可去奇点的完整刻画。我们的方法基于 Wolff 位势、二进模型和非线性迹不等式的系统使用。我们利用了 Kilpelainen 与 Maly、Trudinger 与 Wang、以及 Labutin 在位势论和 PDE 方面的近期进展。这使我们能处理奇异解、非局部算子与分布式奇点，并同时对拟线性方程和 Monge-Ampere 型方程发展该理论。