Neumann问题振荡径向解的Bonheure-Noris-Weth猜想的证明

设$B_1$为$\mathbb{R}^N$中单位球，$N \geq 2$。令$f\in C^1([0, \infty), \mathbb{R})$，$f(0)=0$，$f(\beta) = \beta$，$f(s)<s\ \text{for}\ s\in (0,\beta)$，$f(s)>s\ \text{for}\ s\in (\beta, \infty)$且$f'(\beta)>\lambda^{r}_k$。D. Bonheure, B. Noris and T. Weth [Ann. Inst. H. Poincar\'e Anal. Non Lin\'eaire 29(4) (2012)] 证明了半线性Neumann问题 $$-\Delta u+u=f(u)\ \text{in}\ B_1,\ \ \ \ \partial_\nu u=0\ \text{on}\ \partial B_1$$ 当$k=2$时存在非减的径向正解，并猜想对于$k>2$，若$f'(\beta) >\lambda^r_k$，则存在与$\beta$有$k$个交点的径向解。本文中，我们给出肯定答案。