奇异Liouville系统的度数计数定理

设$(M,g)$为无边界的紧黎曼曲面，$u=(u_1,...,u_n)$为如下奇异Liouville系统的解：\begin{equation*} \Delta_g u_i+\sum_{j=1}^na_{ij}\rho_j(\frac{h_je^{u_j}}{\int_M h_j e^{u_j}dV_g}-\frac{1}{vol_g(M)})=\sum_{t=1}^N4\pi \gamma_t( \delta_{p_t}-\frac{1}{vol_g(M)}), \end{equation*} 其中$i=1,...,n$，$h_1,...,h_n$为正光滑函数，$p_1,...,p_N$为$M$上互不相同的点，$\delta_{p_t}$为Dirac质量，$\rho=(\rho_1,...,\rho_n)$（$\rho_i\ge 0$）与$(\gamma_{1},...,\gamma_{N})$（$\gamma_{t}>-1$）为常向量。若系数矩阵$A=(a_{ij})_{n\times n}$满足标准假设，我们确定了一族$\rho=(\rho_1,..,\rho_n)$的临界超曲面$\Gamma_k$，使得当$\rho$不在任何$\Gamma_k$上时$u$的先验估计成立。借助先验估计，$u$的拓扑度在$\rho$位于任意两个相邻$\Gamma_k$之间时良定义。本文建立了该度数计数公式，其仅依赖于$M$的Euler示性数与$\rho$的位置。最后，若Liouville系统定义在$\mathbb R^2$中具有Dirichlet边界条件的有界域上，我们也确定了类似的仅依赖于区域拓扑与$\rho$位置的度数计数公式。