关于 $\mathrm D_\infty,$ $ \mathrm{SL}_2$ 与 Weierstrass 域扩张的有限项积分 Liouville 定理

设 $k$ 为特征零的微分域，且 $k$ 的常数域 $C$ 为代数闭域。设 $E$ 是 $k$ 的微分域扩张，以 $C$ 为其常数域，且 $E=E_m\supseteq E_{m-1}\supseteq\cdots\supseteq E_1\supseteq E_0=k,$ 其中 $E_i$ 要么是 $E_{i-1}$ 的初等扩张，要么 $E_i=E_{i-1}(t_i, t'_i)$ 且 $t_i$ 在 $E_{i-1}$ 上是 weierstrassian 的（依 Kolchin 的意义（[第 803 页, Kolchin1953]）），要么 $E_i$ 是 $E_{i-1}$ 的 Picard-Vessiot 扩张，具有同构于特殊线性群 $\mathrm{SL}_2(C)$ 或 $\mathrm{SL}_2(C)$ 的无限二面子群 $\mathrm{D}_\infty$ 的微分 Galois 群。本文中，我们证明关于有限项积分的 Liouville 定理（[定理, Rosenlicht1968]）对 $E$ 成立。即，若 $\eta\in E$ 且 $\eta'\in k$，则存在正整数 $n$，且对 $i=1,2,\dots,n,$ 存在元素 $c_i\in C,$ $u_i\in k\setminus \{0\}$ 与 $v\in k$ 使得 $$\eta'=\sum^n_{i=1}c_i\frac{u'_i}{u_i}+v'.$$