黎曼曲面上 $SU(3)$ Toda 系统的部分爆破现象

本工作研究了具有光滑边界的紧致黎曼曲面上 $SU(3)$ Toda 系统的部分爆破现象。我们考虑以下带有 Neumann 边界条件的耦合 Liouville 系统：$$-\Delta_g u_1 = 2\rho_1\left( \frac{V_1 e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \, dv_g} - \frac 1 {|\Sigma|_g}\right) - \rho_2\left( \frac{V_2 e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) \text{in} \,\mathring\Sigma$$ 和 $$-\Delta_g u_2 = 2\rho_2\left( \frac{V_2 e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) - \rho_1\left( \frac{V_1 e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) \text{in} \,\mathring\Sigma$$ 边界条件为 $\partial_{\nu_g} u_1 = \partial_{\nu_g} u_2 = 0 \text{ on} \, \partial \Sigma,$ 其中 $(\Sigma, g)$ 是一个紧致黎曼曲面，内部为 $\mathring\Sigma$，边界为光滑的 $\partial\Sigma$，$\rho_i$ 是非负参数，$V_i$ 是光滑正函数，$i=1,2$。我们通过 Lyapunov-Schmidt 约简和变分方法构造了一族爆破解，其中一个分量从上方保持一致有界，而另一个分量在内部和边界上的预定数量的点处发生部分爆破。该构造基于所谓的影子系统的非退化解的存在性。此外，我们确立了三种情况下部分爆破解的存在性： 对于任意足够小的 $\rho_2>0$； 对于一般的 $V_1, V_2$ 和任意 $\rho_2\in (0,2\pi)$； 对于一般的 $V_1, V_2$，Euler 示性数 $\chi(\Sigma)<1$ 且任意 $\rho_2\in (2\pi,+\infty)\setminus 2\pi \mathbb{N}_+$。