变号给定函数的 Toda 系统解的存在性结果：第二部分

设 $(M, g)$ 为面积为 1 的紧黎曼曲面。我们研究 $M$ 上的 Toda 系统\n\begin{align}\n\begin{cases}\n-\Delta u_1 = 2\rho_1(h_1e^{u_1}-1) - \rho_2(h_2e^{u_2}-1),\\\n-\Delta u_2 = 2\rho_2(h_2e^{u_2}-1) - \rho_1(h_1e^{u_1}-1),\n\end{cases}\n\end{align}\n其中 $\rho_1, \rho_2 \in (0,4\pi]$，$h_1$ 和 $h_2$ 是 $M$ 上的两个光滑函数。当某些 $\rho_i$ 等于 $4\pi$ 时，Toda 系统相对于相应的 Moser-Trudinger 不等式是临界的，使得存在性问题变得显著更具挑战性。在他们的开创性文章（Comm. Pure Appl. Math., 59 (2006), no. 4, 526--558）中，Jost、Lin 和 Wang 在假设 $h_1$ 和 $h_2$ 均为正的情况下，建立了 $\rho_1=4\pi$、$\rho_2 \in (0,4\pi)$ 或 $\rho_1=\rho_2=4\pi$ 时 Toda 系统解存在的充分条件。在我们之前的论文中，我们将这些结果推广到允许 $h_1$ 和 $h_2$ 在 $\rho_1=4\pi$、$\rho_2 \in (0,4\pi)$ 情形下变号。在本文中，我们进一步将研究推广到证明当 $h_1$ 和 $h_2$ 可以变号且 $\rho_1=\rho_2=4\pi$ 时，Jost-Lin-Wang 的充分条件仍然成立。我们的证明依赖于 Toda 系统的改进版 Moser-Trudinger 不等式，以及类似于 Brezis-Merle 型的专门分析和 Pohozaev 恒等式的使用。