关于 Ding-Jost-Li-Wang 一个结果的又一注记

设 $(M,g)$ 为紧黎曼曲面，$h$ 为 $M$ 上的正光滑函数。众所周知，在 Ding-Jost-Li-Wang 条件下，泛函 $$J(u)=\frac{1}{2}\int_M|\nabla u|^2dv_g+8\pi\int_M udv_g-8\pi\log\int_Mhe^{u}dv_g$$ 达到其极小值。该结果被 Yang 与作者推广至非负 $h$。随后，Sun 与 Zhu（arXiv:2012.12840）证明了当 $h$ 变号时，Ding-Jost-Li-Wang 条件也是 $J$ 达到极小值的充分条件，该结论后来分别由 Wang 与 Yang（J. Funct. Anal. 282: Paper No. 109449, 2022）以及 Li 与 Xu（Calc. Var. 61: Paper No. 143, 2022）利用流方法重新证明。本注记旨在给出 Sun 与 Zhu 结果的一个新证明。我们的证明基于变分法与极大值原理。