带变号预设函数的Kazdan-Warner方程解的存在性

本文研究闭黎曼面上面积为1的如下带变号预设函数$h$的Kazdan-Warner方程 \begin{align*} -\Delta u=8\pi\left(\frac{he^{u}}{\int_{\Sigma}he^{u}}-1\right) \end{align*}。其解为泛函$J_{8\pi}$的临界点，该泛函定义为 \begin{align*} J_{8\pi}(u)=\frac{1}{16\pi}\int_{\Sigma}|\nabla u|^2+\int_{\Sigma}u-\ln\left|\int_{\Sigma}he^{u}\right|,\quad u\in H^1\left(\Sigma\right). \end{align*} 我们假设在$2\ln h^+ + A$的每个最大值点处 \begin{equation*} \Delta \ln h^+ + 8\pi - 2K > 0 \end{equation*}，其中$K$为高斯曲率，$h^+$为$h$的正部，$A$为Green函数的正则部分，从而证明了$J_{8\pi}$极小元的存在性。这将Ding、Jost、Li和Wang [Asian J. Math. 1(1997), 230-248]的存在性结果推广到变号预设函数情形。我们还关注临界点为$J_{8\pi-\varepsilon}$的序列$u_{\varepsilon}$在$\int_{\Sigma}he^{u_{\varepsilon}}=1, \lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}J_{8\pi-\varepsilon}\left(u_{\varepsilon}\right)<\infty$下的爆破行为，并得到爆破过程中的如下恒等式 \begin{equation*} -\varepsilon=\frac{16\pi}{(8\pi-\varepsilon)h(p_\varepsilon)}\left[\Delta \ln h(p_\varepsilon)+8\pi-2K(p_\varepsilon)\right]\lambda_{\varepsilon}e^{-\lambda_{\varepsilon}}+O\left(e^{-\lambda_{\varepsilon}}\right), \end{equation*} 其中$p_\varepsilon$和$\lambda_\varepsilon$分别为$u_\varepsilon$的最大值点和最大值。此外，$p_{\varepsilon}$收敛于爆破点，该点是函数$2\ln h^{+}+A$的临界点。