闭曲面上 Moser-Trudinger 泛函的临界点

给定闭黎曼曲面 $(\Sigma,g)$ 和任意正光滑权函数，我们利用极小极大格式结合紧性、量化结果和尖锐能量估计，证明了对每个 $p\in (1,2)$ 和 $\beta>0$，或 $p=1$ 且 $\beta\in (0,\infty)\setminus 4\pi\mathbb{N}$，泛函 $$J_{p,\beta}(u)=\frac{2-p}{2}\left(\frac{p\|u\|_{H^1}^2}{2\beta} \right)^{\frac{p}{2-p}}-\ln \int_\Sigma (e^{u_+^p}-1) f dv_g$$ 的正临界点的存在性。令 $p\uparrow 2$，我们得到对任意 $\beta>0$ 约束于 $\mathcal{E}_\beta:=\left\{v\text{ s.t. }\|v\|_{H^1}^2=\beta\right\}$ 的 Moser-Trudinger 泛函 $$F(u):=\int_\Sigma (e^{u^2}-1)f dv_g$$ 的正临界点。