圆盘上 Moser-Trudinger 泛函的临界点

在二维单位圆盘 $B_1$ 上，我们研究 Moser-Trudinger 泛函 $$E(u)=\int_{B_1}(e^{u^2}-1)dx, u\in H^1_0(B_1)$$ 及其在 $M_\Lambda:=\{u \in H^1_0(B_1):\|u\|^2_{H^1_0}=\Lambda\}$（$\Lambda>0$）上的限制。我们证明，若 $E|_{M_{\Lambda_k}}$（对某些 $\Lambda_k>0$）的正临界点序列 $u_k$ 在 $k\to\infty$ 时爆破，则 $\Lambda_k\to 4\pi$，且 $u_k\to 0$ 在 $H^1_0(B_1)$ 中弱收敛，在 $C^1_{\loc}(\bar B_1\setminus\{0\})$ 中强收敛。利用这一结果，我们还证明当 $\Lambda$ 足够大时，$E|_{M_\Lambda}$ 没有正临界点，补充了 Carleson-Chang、M. Struwe 以及 Lamm-Robert-Struwe 先前的存在性结果。