Trudinger-Moser非线性是真正的临界非线性吗？
偏微分方程分析
2010-07-19 v2
摘要
对于维数N>2的Sobolev空间H^1，临界非线性项∫|u|^{2^*}在任意点都缺乏弱连续性，而维数N=2的Trudinger-Moser非线性项∫e^{4πu^2}在除零点外的任意点都是弱连续的。在前一种情形中，弱连续性的缺失可归因于平移和伸缩作用的不变性。单位圆盘D⊂R^2的Sobolev空间H_0^1具有类似于平移（Möbius变换）和非线性伸缩r↦r^s的变换。我们给出了Trudinger-Moser不等式的改进形式，其非线性项比∫e^{4πu^2}更尖锐，在任意点都缺乏弱连续性，并且（分别）具有平移和伸缩不变性。然而，我们证明，没有形如∫F(|x|,u(x))dx的非线性项同时具有伸缩和Möbius平移不变性。本文还给出了Mancini和Sandeep最近得到的共形不变Trudinger-Moser不等式以及Beckner的Onofri型不等式改进版本的一个非常简短的新证明。
引用
@article{arxiv.1006.2724,
title = {Is the Trudinger-Moser nonlinearity a true critical nonlinearity?},
author = {Kyril Tintarev},
journal= {arXiv preprint arXiv:1006.2724},
year = {2010}
}