全空间上的尖锐各向异性奇异 Trudinger-Moser 不等式

本文研究涉及各向异性 Dirichlet 范数 $\left(\int_{\Omega}F^{N}(\nabla u)\;\mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{N}}$ 的尖锐奇异 Trudinger-Moser 不等式，所在空间为 Sobolev 型空间 $D^{N,q}(\mathbb{R}^{N})$，$q\geq 1$，此处 $F:\mathbb{R}^{N}\rightarrow[0,+\infty)$ 是 $C^{2}(\mathbb{R}^{N}\setminus\{0\})$ 类的凸函数，为偶的且 1 次正齐次，其极函数 $F^{0}$ 表示 $\mathbb{R}^{N}$ 上的 Finsler 度量。结合凸对称化与 Schwarz 对称化之间的联系，我们将建立各向异性奇异 Trudinger-Moser 不等式，并在几种不同情形下讨论其尖锐性，包括 $\|F(\nabla u)\|_{N}\leq 1$ 的情形、$\|F(\nabla u)\|_{N}^{a}+\|u\|_{q}^{b}\leq 1$ 的情形，以及它们是否与精确增长相关联。