有界域上奇异各向异性Trudinger-Moser泛函极值函数的紧性

在本文中，我们研究了由 Lu-Shen-Xue-Zhu 提出的奇异各向异性 Trudinger-Moser 不等式极值函数的紧性。我们通过爆破分析方法证明了，当 $\beta\to 0$ 时，极值函数 $u_{\beta}$ 在 $W_{0}^{1,n}(\Omega)\cap C^{1}(\overline{\Omega})$ 中收敛到某个函数 $u_{0}$，该函数实现了上确界 $\sup\limits_{u\in W_{0}^{1,n}(\Omega),\Vert u\Vert_{F(\Omega)}\leq1}\int_{\Omega}^{}e^{\tau_{n}\vert u\vert^{\frac{n}{n-1}}}dx$，其中 $\tau_{n}=n^{\frac{n}{n-1}}\kappa_{n}^{\frac{1}{n-1}}$，$\kappa_{n}$ 表示 $\mathbb{R}^{n}$ 中单位 Wulff 球的体积，$\Vert u\Vert_{F(\Omega)}$ 是 $u$ 的各向异性范数。