有界域上涉及 $L^{p}$ 范数的奇异 Trudinger--Moser 不等式

本文利用爆破分析与容量估计方法，推导了涉及 $N$-Finsler--Laplacian 与 $L^{p}$ 范数的奇异 Trudinger--Moser 不等式，具体而言，对任意 $p>1$、$0\leq\gamma<\gamma_{1}:= \inf\limits_{u\in W^{1, N}_{0}(\Omega)\backslash \{0\}}\frac{\int_{\Omega}F^{N}(\nabla u)dx}{\| u\|_p^N}$ 与 $0\leq\beta<N$，有 \begin{align} \sup_{u\in W_{0}^{1,N}(\Omega),\;\int_{\Omega}F^{N}(\nabla u)dx-\gamma\| u\|_p^N\leq1}\int_{\Omega}\frac{e^{\lambda_{N}(1-\frac{\beta}{N})\lvert u\rvert^{\frac{N}{N-1}}}}{F^{o}(x)^{\beta}}\;\mathrm{d}x<+\infty\notag, \end{align} 其中 $\lambda_{N}=N^{\frac{N}{N-1}} \kappa_{N}^{\frac{1}{N-1}}$，$\kappa_{N}$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中单位 Wulff 球的体积，此外还得到了该不等式的极值函数。当 $F=\lvert\cdot\rvert$ 且 $p=N$ 时，由上述不等式可得 Tintarev 型不等式的奇异版本，即对任意 $0\leq\alpha<\alpha_{1}(\Omega):=\inf\limits_{u\in W^{1, N}_{0}(\Omega)\backslash \{0\}}\frac{\int_{\Omega}|\nabla u|^Ndx}{\| u\|_N^N}$ 与 $0\leq\beta<N$，成立 $$\sup_{u\in W_{0}^{1,N}(\Omega),\;\int_{\Omega}\lvert\nabla u\rvert^{N}\;\mathrm{d}x-\alpha\|u\|_{N}^{N}\leq1}\int_{\Omega}\frac{e^{\alpha_{N}(1-\frac{\beta}{N})\lvert u\rvert^{\frac{N}{N-1}}}}{\lvert x\rvert^{\beta}}\;\mathrm{d}x<+\infty,$$ 其中 $\alpha_{N}:=N^{\frac{N}{N-1}}\omega_{N}^{\frac{1}{N-1}}$，$\omega_{N}$ 为 $\mathbb{R}^{N}$ 中单位球的体积。我们的结果将许多著名的 Trudinger--Moser 型不等式推广到了更一般的情形。