全欧氏空间中奇异 Trudinger-Moser 不等式的极值函数

在先前的工作 (Int. Math. Res. Notices 13 (2010) 2394-2426) 中，Adimurthi-Yang 在整个欧氏空间 $\mathbb{R}^N$ $(N\geq 2)$ 中证明了一个奇异 Trudinger-Moser 不等式。具体而言，如果 $0\leq \beta<1$ 且 $0<\gamma\leq1-\beta$，则对于任意 $\tau>0$，有 $$\sup_{u\in W^{1,N}(\mathbb{R}^N),\,\int_{\mathbb{R}^N}(|\nabla u|^N+\tau |u|^N)dx\leq 1}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{1}{|x|^{N\beta}}\left(e^{\alpha_N\gamma|u|^{\frac{N}{N-1}}}-\sum_{k=0}^{N-2}\frac{\alpha_N^k\gamma^k|u|^{\frac{kN}{N-1}}} {k!}\right)dx<\infty,$$ 其中 $\alpha_N=N\omega_{N-1}^{1/(N-1)}$，$\omega_{N-1}$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中单位球面的面积。上述不等式是最佳的，意义在于如果 $\gamma>1-\beta$，所有积分仍然有限但上确界为无穷大。在本文中，我们关注这些奇异不等式的极值函数。正则情形 $\beta=0$ 已由 Li-Ruf (Indiana Univ. Math. J. 57 (2008) 451-480) 和 Ishiwata (Math. Ann. 351 (2011) 781-804) 考虑。我们将研究奇异情形 $0<\beta<1$，并证明对于所有 $\tau>0$、$0<\beta<1$ 和 $0<\gamma\leq 1-\beta$，上述不等式的极值函数存在。证明基于爆破分析。