通过 n-调和移植实现奇异 Moser-Trudinger 不等式的极值函数

Moser-Trudinger 嵌入已在 [Adimurthi A.; Sandeep K., A singular Moser-Trudinger embedding and its applications, \textit{NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.}, 13 (2007), no. 5-6, 585--603] 中推广到如下加权版本：若 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 有界，$\omega_{n-1}$ 为单位球的 $\mathcal{H}^{n-1}$ 测度，则对 $\alpha>0$ 与 $\beta\in [0,n)$，$$\sup_{u\in\mathcal{B}_1}\int_{\Omega}\frac{e^{\alpha |u|^{n/(n-1)}}}{|x|^{\beta}}\leq C \ \Leftrightarrow \ \frac{\alpha}{\alpha_n}+\frac{\beta}{n}\leq1,\qquad$$ 其中 $\alpha_n=n\cnn$ 且 $\mathcal{B}_1 = \left\{ u \in W_0^{1, n}(\Omega) \ | \ \int_{\Omega} |\nabla u |^n \leq1 \right\}$。我们证明该上确界在任何区域 $\Omega$ 上均可达到。本文也填补了 [Lin K.C., Extremal functions for Moser's inequality, \textit{Trans. of. Am. Math. Soc.}, 384 (1996), 2663--2671] 证明中的漏洞，该文处理的是 $\beta=0$ 的情形。