全空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中涉及 $L^{n}$ 范数的精确 Trudinger-Moser 型不等式

设 $W^{1,n} ( \mathbb{R}^{n}$ 为标准 Sobolev 空间，$\left\Vert \cdot\right\Vert _{n}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的 $L^{n}$ 范数。我们在整个空间 $\mathbb{R}^n$ 中对任意 $0\leq\alpha<1$ 建立了以下涉及 $L^{n}$ 范数的 Trudinger-Moser 不等式的精确形式：$$\underset{\left\Vert u\right\Vert _{W^{1,n}\left(\mathbb{R} ^{n}\right) }=1}{\sup}\int_{ \mathbb{R}^{n}}\Phi\left( \alpha_{n}\left\vert u\right\vert ^{\frac{n}{n-1}}\left( 1+\alpha\left\Vert u\right\Vert _{n}^{n}\right) ^{\frac{1}{n-1}}\right) dx<+\infty$$其中 $\Phi\left( t\right) =e^{t}-\underset{j=0}{\overset{n-2}{\sum}}$，$\alpha_{n}=n\omega_{n-1}^{\frac{1}{n-1}}$ 且 $\omega_{n-1}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中单位球的 $n-1$ 维表面测度。我们还证明了对于所有 $\alpha\geq1$，上述上确界为无穷大。此外，我们证明了该上确界是可达的，即当 $\alpha>0$ 足够小时，存在上述上确界的一个极大化子。证明基于 Trudinger-Moser 泛函的非线性 Euler-Lagrange 方程的爆破分析方法。我们的结果改进了最近的工作 \cite{J. M. do1}，他们证明了当 $\Phi(t)$ 被替换为严格更小的 $\Phi^*(t)=e^{t}-\underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum}}$ 时，上述不等式以较弱的形式成立。（注意 $\Phi(t)=\Phi^*(t)+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$）。