关于尖锐Trudinger-Moser不等式的界

本文建立了欧氏空间上尖锐Trudinger-Moser不等式的界。设$B$为$\mathbb{R}^n$中的球，且$$TM(B)=\sup_{u\in{W_{0}^{1,n}(B)},\|\nabla u\|_{n}\leq{1}}\frac{1}{|B|}\int_{B}\exp(\alpha_{n}|u(x)|^{\frac{n}{n-1}})dx.$$我们证明$$2.15(n-1)\leq TM(B)\leq{36n-35}.$$若$n$足够大，则有$$2.15(n-1)\leq TM(B)\leq{11.5n-10.5}.$$奇异情形亦被考虑。此外，我们分别给出了次临界与临界Trudinger-Moser不等式的上界。最后我们研究了次临界Trudinger-Moser不等式的渐近行为，改进了Lam Lu与Zhang的工作。