单位球中锥度量的 Trudinger-Moser 不等式

在本注记中，我们证明单位球中锥度量的 Trudinger-Moser 不等式。确切地说，令 $\mathbb{B}$ 为 $\mathbb{R}^N$ $(N\geq 2)$ 中的单位球，$p>1$，$g=|x|^{\frac{2p}{N}\beta}(dx_1^2+\cdots+dx_N^2)$ 为 $\mathbb{B}$ 上的锥度量，且 $\lambda_p(\mathbb{B})=\inf\left\{\int_\mathbb{B}|\nabla u|^Ndx: u\in W_0^{1,N}(\mathbb{B}),\,\int_\mathbb{B}|u|^pdx=1\right\}$。我们证明对任意 $\beta\geq 0$ 与 $\alpha<(1+\frac{p}{N}\beta)^{N-1+\frac{N}{p}}\lambda_p(\mathbb{B})$，存在常数 $C$ 使得对所有径向对称函数 $u\in W_0^{1,N}(\mathbb{B})$ 且满足 $\int_\mathbb{B}|\nabla u|^Ndx-\alpha(\int_\mathbb{B}|u|^p|x|^{p\beta}dx)^{N/p}\leq 1$，有 $$\int_\mathbb{B}e^{\alpha_N(1+\frac{p}{N}\beta)|u|^{\frac{N}{N-1}}}|x|^{p\beta}dx\leq C,$$ 其中 $|x|^{p\beta}dx=dv_g$，$\alpha_N=N\omega_{N-1}^{1/(N-1)}$，$\omega_{N-1}$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中单位球面的面积；此外，此类不等式的极值函数存在。情形 $p=N$、$-1<\beta<0$ 且 $\alpha=0$ 由 Adimurthi-Sandeep \cite{A-S} 考虑，而情形 $p=N=2$、$\beta\geq 0$ 且 $\alpha=0$ 由 de Figueiredo-do \'O-dos Santos \cite{F-do-dos} 研究。