$\mathbb R^n$ 中均值为零的函数的改进 Moser--Trudinger 不等式及其极值函数

设 $\Omega$ 为 $\mathbb R^n$ 中的有界光滑区域，$W^{1,n}(\Omega)$ 为 $\Omega$ 上的 Sobolev 空间，$\lambda(\Omega) = \inf\{\|\nabla u\|_n^n: \int_\Omega u dx =0, \|u\|_n =1\}$ 为 $n$-Laplace 算子 $-\Delta_n$ 在 $\Omega$ 上的第一非零 Neumann 特征值。对于 $0 \leq \alpha < \lambda(\Omega)$，定义 $\|u\|_{1,\alpha}^n =\|\nabla u\|_n^n -\alpha \|u\|_n^n$。本文证明了 $\Omega$ 上均值为零的函数的以下改进 Moser--Trudinger 不等式：$$\sup_{u\in W^{1,n}(\Omega), \int_\Omega u dx =0, \|u\|_{1,\alpha} =1} \int_{\Omega} e^{\beta_n |u|^{\frac n{n-1}}} dx < \infty,$$ 其中 $\beta_n = n (\omega_{n-1}/2)^{1/(n-1)}$，$\omega_{n-1}$ 表示 $\mathbb R^n$ 中单位球面的表面积。我们还证明了该上确界由某个函数 $u^*\in W^{1,n}(\Omega)$ 达到，使得 $\int_\Omega u^* dx =0$ 且 $\|u^*\|_{1,\alpha} =1$。这推广了 Ngo 和 Nguyen \cite{NN17} 在二维情形下的结果以及 Yang \cite{Yang07} 在 $\alpha=0$ 时的结果，并改进了 Cianchi \cite{Cianchi05} 的结果。