Moser-Trudinger 泛函的临界点

在一个光滑有界的二维区域 $\Omega$ 上，我们研究由 T. Lamm、F. Robert 和 M. Struwe 引入的热流 $u_t=\Delta u +\lambda (t)ue^{u^2}$ ($\lambda(t)$ 满足 $d/dt ||u(t,\cdot)||_{H^1_0}=0$)，以探究 Moser-Trudinger 泛函 $E(v)=\int_{\Omega} (e^{v^2}-1)dx, v\in H^1_0(\Omega)$。我们证明，若 $u$ 在 $t\to\infty$ 时爆破且 $E(u(t,\cdot))$ 保持有界，则对于某个序列 $t_k\to\infty$，在 $H^1_0$ 中有 $u(t_k,\cdot)\rightharpoonup 0$ 且 $\|u(t_k,\cdot)\|_{H^1_0}^2\to 4\pi L$，其中 $L\ge 1$ 为整数。我们将这些结果与一种拓扑技术相结合，证明若 $\Omega$ 不可收缩，则对于每个 $0<\Lambda\in \mathbb{R} \setminus 4 \pi \mathbb{N}$，约束在 $M_\Lambda=\{v\in H^1_0(\Omega):||v||_{H^1_0}^2=\Lambda \}$ 上的泛函 $E$ 具有一个正临界点。我们证明当 $\Omega$ 为单位球且 $\Lambda$ 足够大时，$E|_{M_\Lambda}$ 没有正临界点，从而表明关于 $\Omega$ 的拓扑假设是自然的。