Tzitzéica方程的解析性质：爆破分析与存在性结果

我们研究如下具有指数非线性的方程类： $$\Delta u+h_1e^u-h_2e^{-2u}=0 \qquad \mbox{in } B_1\subset\mathbb{R}^2,$$ 该方程与 Tzitzéica 方程相关。这里 $h_1, h_2$ 是两个光滑正函数。本文旨在开启对上述方程的解析研究，并就爆破现象与存在性问题给出相当完整的图景。在论文的第一部分，我们给出了与爆破解序列相关的局部爆破质量的量化。接着在 Dirichlet 边界条件下排除了边界上爆破点的存在。在论文的第二部分，我们考虑紧曲面上的 Tzitzéica 方程：我们首先证明了与此问题相关的一个尖锐 Moser-Trudinger 不等式。最后，我们给出了一个一般存在性结果。