锥形奇点表面上Moser-Trudinger泛函的临界点I：紧凑性

设 $(\Sigma, g_1)$ 为带有锥形奇点的紧致黎曼曲面，$f: \Sigma\to\mathbb R$ 为正光滑函数。本文通过建立尖锐的量化结果，证明了Moser-Trudinger泛函的正临界点集合在约束 $u\in\mathcal E_\beta:=\{u\in H^1(\Sigma,g_1) : \|u\|_{H^1(\Sigma,g_1)}^2=\beta\}$ 下紧凑，其中 $\beta>0$。该结果是对De Marchis-Malchiodi-Martinazzi-Thizy在规则紧致曲面上证明的Moser-Trudinger泛函紧凫性结果的推广(Inventiones Mathematicae, 2022, 230: 1165-1248)。锥形奇点的存在带来了许多额外的困难，我们需要发展不同的思想和技术。紧凑性为在锥形奇点表面上证明Moser-Trudinger泛函的临界点存在奠定了基础。