紧致黎曼曲面上的广义Trudinger-Moser不等式

设 $(\Sigma, g)$ 为紧致黎曼曲面。设 $\psi$, $h$ 为 $\Sigma$ 上的两个光滑函数，满足 $\int_\Sigma \psi dv_g \neq 0$ 且 $h\geq0$, $h\not\equiv0$。本文利用爆破分析方法，证明泛函 \begin{align}\label{functional_J} J^{\psi,h}(u)=\frac{1}{2}\int _{\Sigma}|\nabla_g u|^2dv_g + 8\pi\frac{1}{\int_\Sigma \psi dv_g}\int_\Sigma \psi udv_g-8\pi\log\int _{\Sigma}he^{u}dv_g \end{align} 在 $W^{1,2}(\Sigma,g)$ 中下有界。此外，我们得到了 $J^{\psi, h}$ 在 $W^{1,2}(\Sigma,g)$ 中达到其下确界的充分条件。这些结果推广了 \cite{DJLW97} 和 \cite{YZ2016} 中的主要结果。