紧致黎曼曲面上平均场方程的边值问题

设 $(\Sigma,g)$ 为具有光滑边界 $\partial\Sigma$ 的紧致黎曼曲面，$\Delta_g$ 为 Laplace-Beltrami 算子，$h$ 为正光滑函数。利用 Djadli-Malchiodi (2006) 与 Djadli (2008) 引入的极小极大格式，我们证明：若 $\Sigma$ 非可缩，则对任意 $\rho\in(8k\pi,8(k+1)\pi)$（$k\in\mathbb{N}^\ast$），平均场方程 $$\left\{\begin{array}{lll} \Delta_g u=\rho\frac{he^u}{\int_\Sigma he^udv_g}&{\rm in}&\Sigma\\[1.5ex] u=0&{\rm on}&\partial\Sigma \end{array}\right.$$ 有解。这推广了 Ding-Jost-Li-Wang (1999) 与 Chen-Lin (2003) 在欧氏区域中的早期存在性结果。我们还考虑了相应的诺伊曼边值问题。若 $h$ 为正光滑函数，则对任意 $\rho\in(4k\pi,4(k+1)\pi)$（$k\in\mathbb{N}^\ast$），平均场方程 $$\left\{\begin{array}{lll} \Delta_g u=\rho\left(\frac{he^u}{\int_\Sigma he^udv_g}-\frac{1}{|\Sigma|}\right)&{\rm in}&\Sigma\\[1.5ex] \partial u/\partial{\mathbf{v}}=0&{\rm on}&\partial\Sigma \end{array}\right.$$ 有解，其中 $\mathbf{v}$ 表示 $\partial\Sigma$ 上的单位外法向量。注意在此情形下我们不要求曲面非可缩。