图上平均场方程解的存在性

本文证明了在任意连通有限图上平均场方程 $$\Delta u+e^u=\rho\delta_0$$ 与 $$\Delta u=\lambda e^u(e^u-1)+4 \pi \sum_{j=1}^{M}{\delta_{p_j}}$$ 的两类解的存在性结果,其中 $\rho>0$ 与 $\lambda>0$ 为常数,$M$ 为正整数,$p_1,...,p_M$ 为图上任意选取的顶点。