图上$p$-Yamabe型方程的正解

设$G=(V,E)$为一个有限连通加权图，并假设$1\leq\alpha\leq p\leq q$。在本文中，我们考虑图上的如下$p$-Yamabe型方程$$-\Delta_pu+hu^{q-1}=\lambda fu^{\alpha-1}.$$其中$\Delta_p$是$p$-离散图拉普拉斯算子，$h\leq0$和$f>0$是定义在$G$所有顶点上的实函数。与[Ge3]中的方法不同，我们采用一种新的方法，并证明对上述某个常数$\lambda\in\mathbb{R}$，该方程总存在正解$u>0$。特别地，当$q=p$时，我们的结果将[Ge3]中的主定理从$\alpha\geq p>1$的情形推广到$1\leq\alpha\leq p$的情形。有趣的是，我们的新方法在$\alpha\geq p>1$的情形下同样适用。