图上的 p-阶 Kazdan-Warner 方程

设 $G=(V,E)$ 为一个连通有限图，$C(V)$ 为定义在 $V$ 上的函数集合。设 $\Delta_p$ 为 $G$ 上 $p>1$ 的离散 $p$-Laplacian，且 $L=\Delta_p-k$，其中 $k\in C(V)$ 处处为正。考虑算子 $L:C(V)\rightarrow C(V)$。我们证明 $-L$ 是单射、满射且保序的。因此这意味着对于任意给定的 $f\in C(V)$，方程 $Lu=f$ 存在唯一解。我们还证明方程 $\Delta_pu=\overline{f}-f$ 有一个解，该解在相差一个常数的意义下是唯一的，其中 $\overline{f}$ 是 $f$ 的平均值。借助这些结果，我们最终给出了多种条件，使得对于给定的 $h\in C(V)$ 和 $c\in \mathds{R}$，$p$-阶 Kazdan-Warner 方程 $\Delta_pu=c-he^u$ 在 $V$ 上有解。由此我们将 Grigor'yan、Lin 和 Yang 关于 $p=2$ 的工作 \cite{GLY} 推广到任意 $p>1$。