图上的 Kazdan-Warner 方程

设 $G=(V,E)$ 为有限图，$\Delta$ 为通常的图拉普拉斯算子。利用变分法和上下解方法，我们给出了使得 Kazdan-Warner 方程 $\Delta u=c-he^u$ 在 $V$ 上有解的各种条件，其中 $c$ 为常数，$h:V\rightarrow\mathbb{R}$ 为函数。我们还考虑了图上涉及高阶导数的类似方程。我们的结果可与 Kazdan-Warner 原始流形情形（Ann. Math., 1974）进行比较。