图上广义自对偶 Chern-Simons 方程解的存在性

设 $G=(V,E)$ 为一个连通有限图，$\Delta$ 为通常的图拉普拉斯算子。本文我们考虑图 $G$ 上的广义自对偶 Chern-Simons 方程 \begin{eqnarray}\label{one1} \Delta{u}=-\lambda{e^{F(u)}[e^{F(u)}-1]^2}+4\pi\sum_{i=1}^{M}{\delta_{p_{j}}}, \end{eqnarray} 其中 \begin{equation} F(u)=\left\{\begin{array}{l} \widetilde{F}(u), \ \quad u\leq0, 0, \quad \quad \quad u>0, \end{array} \right. \end{equation} $\widetilde{F}(u)$ 满足 $u=1+{\widetilde {F}(u)}-e^{\widetilde {F}(u)}$，$\lambda>0$，$M$ 为任意固定的正整数，$\delta_{p_{j}}$ 为顶点 $p_j$ 处的狄拉克 delta 质量，且 $p_1$，$p_2$，$\cdots$，$p_M$ 为图上任意选定的互异顶点。我们首先证明存在临界值 ${\lambda}_c$，使得若 $\lambda \geq{\lambda}_c$，则该广义自对偶 Chern-Simons 方程有解 $u_{\lambda}$。应用该存在性结果，我们发展了一种新方法，构造当 $\lambda \geq{\lambda}_c$ 时关于 $\lambda$ 单调的解。进而我们借助变分方法建立当 $\lambda>{\lambda}_c$ 时方程至少有两个解。此外，我们给出了该单调解的精细估计，可应用于其他相关问题。